$x = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy$ を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{11})(\sqrt{5}-\sqrt{11})}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{11})^2}{4} = \frac{5-11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2$ を計算する。

$x^2+y^2 = (\frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{11})^2}{4} + \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})^2}{4} = \frac{(5+2\sqrt{5}\sqrt{11}+11) + (5-2\sqrt{5}\sqrt{11}+11)}{4} = \frac{5+11+5+11}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

別の解き方として、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を使うと、

$x^2+y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$.

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $xy = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2 = 8$