初項2、公差3の等差数列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。 (1) 第n群の最初の数をnの式で表す。 (2) 第n群に入るすべての数の和を求める。

1. 問題の内容

初項2、公差3の等差数列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。

(1) 第n群の最初の数をnの式で表す。

(2) 第n群に入るすべての数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

まず、第n群の最初の数は、もとの等差数列の何番目の数かを考える。

第1群から第(n-1)群までに入る数の個数は、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、第n群の最初の数は、もとの等差数列の$\frac{(n-1)n}{2} + 1$番目の数である。

もとの等差数列の一般項$a_k$は、$a_k = 2 + (k-1) \times 3 = 3k - 1$

よって、第n群の最初の数は、

$3(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3 - 1 = \frac{3n^2 - 3n}{2} + 2 = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 第n群に入るすべての数の和を求める。

第n群にはn個の数が入っている。

第n群の最初の数は$\frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$であり、公差は3である。

したがって、第n群に入る数の和は、

$S_n = \frac{n}{2} [2 \times \frac{3n^2 - 3n + 4}{2} + (n-1) \times 3]$

$= \frac{n}{2} [3n^2 - 3n + 4 + 3n - 3] = \frac{n}{2} (3n^2 + 1) = \frac{3n^3 + n}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数: $\frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 第n群に入るすべての数の和: $\frac{3n^3 + n}{2}$