$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$ 、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$ 、 $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x + y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

(1) $x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{5 - 11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = (\frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2})^2 = \frac{5 + 2\sqrt{5}\sqrt{11} + 11}{4} + \frac{5 - 2\sqrt{5}\sqrt{11} + 11}{4} = \frac{16 + 2\sqrt{55} + 16 - 2\sqrt{55}}{4} = \frac{32}{4} = 8$

(4) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = xy(x^2 + y^2) = (-\frac{3}{2})(8) = -12$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$

(2) $-\frac{3}{2}$

(3) $8$

(4) $-12$