問題は、$\sqrt{9 + \sqrt{56}}$を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sqrt{9 + \sqrt{56}}$を計算することです。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。まず、$9 + \sqrt{56}$を$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の形に変形することを考えます。そのためには、$2ab = \sqrt{56}$となるような$a$と$b$を見つける必要があります。

$9 + \sqrt{56} = a^2 + b^2 + 2ab$とすると、

$a^2 + b^2 = 9$

$2ab = \sqrt{56}$なので、$4a^2b^2 = 56$、すなわち$a^2b^2 = 14$となります。

ここで、$a^2$と$b^2$が$x^2 - 9x + 14 = 0$の解となるような$x$を見つけることを考えます。この二次方程式を解くと、

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4(14)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$

したがって、$x = 7$または$x = 2$です。

$a^2 = 7$、$b^2 = 2$とすると、$a = \sqrt{7}$、$b = \sqrt{2}$となります。

よって、

$\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7} + \sqrt{2}$