次の2つの数の大小を不等号を用いて表す。 (1) $3 \log_4 3$ と $2 \log_4 5$ (2) $\frac{1}{2} \log_4 8$ と $\log_4 3$

1. 問題の内容

次の2つの数の大小を不等号を用いて表す。

(1) $3 \log_4 3$ と $2 \log_4 5$

(2) $\frac{1}{2} \log_4 8$ と $\log_4 3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$3 \log_4 3$ と $2 \log_4 5$ をそれぞれ変形する。

$3 \log_4 3 = \log_4 (3^3) = \log_4 27$

$2 \log_4 5 = \log_4 (5^2) = \log_4 25$

ここで、底が4である対数関数を考える。底4は1より大きいので、真数が大きいほど対数の値は大きくなる。

$25 < 27$ より、$\log_4 25 < \log_4 27$ である。

したがって、$2 \log_4 5 < 3 \log_4 3$ となる。

(2)

$\frac{1}{2} \log_4 8 = \log_4 (8^{\frac{1}{2}}) = \log_4 \sqrt{8}$

$\log_4 3 = \log_4 \sqrt{9}$

$\sqrt{8} < \sqrt{9}$ なので、底が4（1より大きい）であることから、

$\log_4 \sqrt{8} < \log_4 \sqrt{9}$

$\frac{1}{2} \log_4 8 < \log_4 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $2 \log_4 5 < 3 \log_4 3$

(2) $\frac{1}{2} \log_4 8 < \log_4 3$