方程式 $x+y+z=7$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組が全部で何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x+y+z=7$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組が全部で何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$ です。

そこで、$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$ とおくと、$x', y', z'$ は非負整数となります。

$x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1$ を元の式に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 7$

$x' + y' + z' = 7 - 3 = 4$

$x' + y' + z' = 4$

この式を満たす非負整数 $x', y', z'$ の組の数を求めれば良いことになります。

これは、4個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる場合の数と考えることができます。

仕切りを2つ使うと考えると、4個の丸と2個の仕切りの並べ方を数えればよいので、

${}_{4+2}C_2 = {}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

または

${}_{4+2}C_4 = {}_6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

となります。

3. 最終的な答え

15個