与えられた積分を計算する問題です。積分は、$ \int_1^2 (x \log x - (\log t + 1)x + t) dx $ です。ここで、$t$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は、$\int_1^2 (x \log x - (\log t + 1)x + t) dx$ です。ここで、$t$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、積分を3つの部分に分けます。

$\int_1^2 x \log x \, dx - \int_1^2 (\log t + 1)x \, dx + \int_1^2 t \, dx$

それぞれの積分を計算します。

1. $\int_1^2 x \log x \, dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

したがって、

$\int_1^2 x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_1^2 = \left( \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} \right) = 2 \log 2 - 1 - 0 + \frac{1}{4} = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$

2. $\int_1^2 (\log t + 1)x \, dx = (\log t + 1) \int_1^2 x \, dx = (\log t + 1) \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = (\log t + 1) \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = (\log t + 1) \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \log t + \frac{3}{2}$

3. $\int_1^2 t \, dx = t \int_1^2 dx = t[x]_1^2 = t(2 - 1) = t$

したがって、

$\int_1^2 (x \log x - (\log t + 1)x + t) dx = 2 \log 2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \log t - \frac{3}{2} + t = 2 \log 2 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} \log t + t$

3. 最終的な答え

$t - \frac{3}{2}\log(t) + 2\log(2) - \frac{9}{4}$