0, 1, 2, 3, 4の5個の数字から異なる3個を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 3桁の整数は全部で何個できるか。 (2) 奇数は何個で、偶数は何個か。 (3) 9の倍数は何個で、4の倍数は何個か。 (4) この3桁の整数を小さい順に並べたとき、213は何番目か。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4の5個の数字から異なる3個を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 3桁の整数は全部で何個できるか。

(2) 奇数は何個で、偶数は何個か。

(3) 9の倍数は何個で、4の倍数は何個か。

(4) この3桁の整数を小さい順に並べたとき、213は何番目か。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数の個数

百の位は0以外の4通り、十の位は百の位で使った数字以外の4通り、一の位は百の位と十の位で使った数字以外の3通り。

したがって、3桁の整数は $4 \times 4 \times 3 = 48$ 個。

(2) 奇数の個数と偶数の個数

奇数は一の位が1か3の場合。

一の位が1のとき、百の位は0以外の3通り、十の位は残りの3通りなので、 $3 \times 3 = 9$ 個。

一の位が3のときも同様に9個。

したがって、奇数は $9 + 9 = 18$ 個。

偶数は、全部の数から奇数を引けばよいので、 $48 - 18 = 30$ 個。

(3) 9の倍数の個数

3桁の整数の各桁の数字の和が9の倍数になるものを探す。

(0, 1, 8), (0, 2, 7), (0, 3, 6), (0, 4, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4)

という組み合わせが考えられるが、0から4の数字しかないので(1,2,6),(1,3,5)と(2,3,4)はありえない。

組み合わせは(0,1,8),(0,2,7),(0,3,6),(0,4,5)だけを考えればいいが、８、７，６、５は数字として使えないので(0,1,2,3,4から3個の数字を選ぶ)不適である。

各桁の数字の和が9になる組み合わせを考える:

1+3+5=9 (5は範囲外なので不可)

2+3+4=9 並び替えは3!=6個

各桁の数字の和が18になる組み合わせを考える:

3+4+(x)=18 (x)=11(範囲外なので不可)

したがって 9の倍数は(2,3,4)の組み合わせの並び替えで、234,243,324,342,423,432 の6個

4の倍数の個数

下2桁が4の倍数である必要がある。作れる3桁の整数のうち下二桁が4の倍数になるのは、04, 12, 20, 24, 32, 40, 44(同じ数字は不可なので除外) の7通り。

04: 百の位は1,2,3の3通り。

12: 百の位は0,3,4の3通り。

20: 百の位は1,3,4の3通り。

24: 百の位は0,1,3の3通り。

32: 百の位は0,1,4の3通り。

40: 百の位は1,2,3の3通り。

したがって、4の倍数は $3+3+3+3+3+3 = 18$ 個。

(4) 213は何番目か

小さい順に並べるので、まず100番台、200番台の数を小さい順に並べる。

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143

201, 203, 204, 210, 213, 214

100番台は $3 \times 2 = 6$ 通り + $3 \times 2 = 6$ 通り= 12個。

200番台は 201, 203, 204, 210, 213, 214

213は200番台の5番目。よって、12 + 5 = 17番目。

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) 奇数：18、偶数：30

(3) 9の倍数：6、4の倍数：18

(4) 17