与えられた積分を計算します。被積分関数は有理関数です。

画像に書かれた複数の積分問題のうち、最初に書かれた積分問題、つまり

$$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$$

を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。被積分関数は有理関数です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用します。

$$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ をかけると

$$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$$

$x=-1$ のとき

$$1 = B(-1+2) = B$$

より $B=1$.

$x=-2$ のとき

$$1 = C(-2+1)^2 = C$$

より $C=1$.

$x=0$ のとき

$$1 = A(1)(2) + B(2) + C(1)^2 = 2A + 2B + C = 2A + 2 + 1$$

$$2A = 1 - 2 - 1 = -2$$

より $A=-1$.

したがって、

$$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$$

積分は

$$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$$

$$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$$

$$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$$

$$= \ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$$

3. 最終的な答え

$$\ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$$