不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

## 問題4

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分分数分解を用います。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$1 = A(x^2+3x+2) + B(x+2) + C(x^2+2x+1)$

$1 = (A+C)x^2 + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C)$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式が得られます。

$A+C = 0$

$3A+B+2C = 0$

$2A+2B+C = 1$

最初の式から $C = -A$ であることがわかります。これを他の式に代入すると、

$3A+B-2A = 0$ => $A+B = 0$ => $B = -A$

$2A+2B-A = 1$ => $A+2B = 1$

$B = -A$を$A+2B=1$に代入すると、

$A - 2A = 1$ => $-A = 1$ => $A = -1$

すると $B = -A = 1$, $C = -A = 1$ となります。

したがって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

これで積分を計算できます。

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

## 問題5

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分分数分解を用います。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ を掛けると、

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

$x+5 = Ax^2 + 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$

$x+5 = (A+B)x^2 + (4A+C)x + 5A$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式が得られます。

$A+B = 0$

$4A+C = 1$

$5A = 5$

最後の式から $A=1$ であることがわかります。これを他の式に代入すると、

$1+B = 0$ => $B=-1$

$4(1)+C = 1$ => $C = -3$

したがって、

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5}$

これで積分を計算できます。

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5}\right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

第二項の積分について、$x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$であることに注意します。

また、$2x+4 = 2(x+2)$です。

$\int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx = \int \frac{x+2+1}{(x+2)^2+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2(x+2)}{(x+2)^2+1}dx+\int \frac{1}{(x+2)^2+1}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5)+\arctan(x+2)+C$

よって、

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

$= \ln|x| - \frac{1}{2}\ln((x+2)^2+1) - \arctan(x+2) + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$