$\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

## 問題 (6) の解答

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数を部分分数分解します。

まず、$x^3 + 1$ を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの式を解きます。

$A+B = 0$ より、$B = -A$

$A+C = 1$ より、$C = 1-A$

$-A+B+C = 0$ に代入すると、

$-A - A + 1 - A = 0$

$-3A + 1 = 0$

$A = \frac{1}{3}$

したがって、$B = -\frac{1}{3}$、$C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

よって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x + 2/3}{x^2-x+1}$

積分は、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \int \frac{1/3}{x+1} dx + \int \frac{(-1/3)x + 2/3}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

第2項の積分を計算します。

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + C$

$= -\frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

したがって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} (-\frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln (x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln (x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

## 問題 (7) の解答

1. 問題の内容

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数を部分分数分解、もしくは多項式と真分数式の和で表します。

$\frac{x^4}{(x^2+2)^2}$ を計算します。

$x^4 = (x^2+2)(x^2-2) + 4$ なので、

$\frac{x^4}{(x^2+2)^2} = \frac{(x^2+2)(x^2-2) + 4}{(x^2+2)^2} = \frac{x^2-2}{x^2+2} + \frac{4}{(x^2+2)^2}$

さらに、

$\frac{x^2-2}{x^2+2} = \frac{(x^2+2)-4}{x^2+2} = 1 - \frac{4}{x^2+2}$

よって、

$\frac{x^4}{(x^2+2)^2} = 1 - \frac{4}{x^2+2} + \frac{4}{(x^2+2)^2}$

$= 1 - 4 \frac{1}{x^2+2} + 4 \frac{1}{(x^2+2)^2}$

積分は、

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx = \int (1 - \frac{4}{x^2+2} + \frac{4}{(x^2+2)^2}) dx$

$= \int 1 dx - 4 \int \frac{1}{x^2+2} dx + 4 \int \frac{1}{(x^2+2)^2} dx$

$= x - 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + 4 \int \frac{1}{(x^2+2)^2} dx$

第3項の積分を計算します。

$I = \int \frac{1}{(x^2+2)^2} dx$

$x = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$

$x^2+2 = 2 \tan^2 \theta + 2 = 2 \sec^2 \theta$

$I = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{(2 \sec^2 \theta)^2} d\theta = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{4 \sec^4 \theta} d\theta$

$= \frac{\sqrt{2}}{4} \int \cos^2 \theta d\theta = \frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta$

$= \frac{\sqrt{2}}{8} (\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = \frac{\sqrt{2}}{8} (\theta + \sin \theta \cos \theta) + C$

$= \frac{\sqrt{2}}{8} (\arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+2}}) + C$

$= \frac{\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{4(x^2+2)} + C$

したがって、

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx = x - \frac{4}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + 4 (\frac{\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{4(x^2+2)}) + C$

$= x - \frac{4}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{x^2+2} + C$

$= x - \sqrt{2} \frac{3}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{x^2+2} + C$

$= x + \frac{x}{x^2+2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

3. 最終的な答え

$x + \frac{x}{x^2+2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C$