以下の積分を計算します。 $\int \frac{1}{x^3+1} dx$

## 問題 1

1. 問題の内容

以下の積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^3+1} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ なので、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

とおきます。両辺に $x^3+1$ をかけると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 -Ax + A + Bx^2 +Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較して、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$B = -A$, $C = 1-A$ を $-A+B+C = 0$ に代入すると、

$-A-A+1-A = 0$

$-3A + 1 = 0$

$A = \frac{1}{3}$

したがって、$B = -\frac{1}{3}$, $C = \frac{2}{3}$ となります。

よって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{-1/3 x + 2/3}{x^2-x+1}$

積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \int \frac{1/3}{x+1} dx + \int \frac{-1/3 x + 2/3}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x^2-x+1} dx$

$\int \frac{x-2}{x^2-x+1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| - \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2} \right)$

$= \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| - \sqrt{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)$

したがって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| - \sqrt{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) \right] + C$

$= \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{6} \ln (x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$

$= \frac{1}{6} \ln \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1} + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} \ln \frac{(x+1)^2}{x^2-x+1} + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$

## 問題 2

1. 問題の内容

以下の積分を計算します。

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解するのではなく、変数変換と部分積分を組み合わせます。

$x = \sqrt{2} \tan \theta$ と置くと、 $dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$x^2 + 2 = 2 \tan^2 \theta + 2 = 2 \sec^2 \theta$

したがって、

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx = \int \frac{4 \tan^4 \theta}{4 \sec^4 \theta} \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta = \sqrt{2} \int \frac{\tan^4 \theta}{\sec^2 \theta} d\theta = \sqrt{2} \int \tan^4 \theta \cos^2 \theta d\theta = \sqrt{2} \int \sin^4 \theta d\theta$

$\sin^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 = (\frac{1-\cos 2\theta}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$

$= \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2\theta + \frac{1+\cos 4\theta}{2}) = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2\theta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 4\theta)$

$= \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta)$

$\int \sin^4 \theta d\theta = \int \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta) d\theta = \frac{1}{8} (3\theta - 2\sin 2\theta + \frac{1}{4} \sin 4\theta) + C$

$x = \sqrt{2} \tan \theta$ より、 $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{2}}$ つまり、$\theta = \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 \frac{\tan \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2 \frac{x}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{x^2}{2}} = \frac{2\sqrt{2}x}{2+x^2}$

$\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta = 2\sin 2\theta (2\cos^2 \theta - 1) = 2\sin 2\theta (2\frac{1}{\sec^2 \theta} - 1) = 2 \sin 2\theta (\frac{2}{1+\tan^2 \theta} - 1) = 2 \frac{2\sqrt{2}x}{2+x^2} (\frac{2}{1+x^2/2} - 1) = 2 \frac{2\sqrt{2}x}{2+x^2} (\frac{4-2-x^2}{2+x^2}) = \frac{4\sqrt{2}x(2-x^2)}{(2+x^2)^2}$

$\int \frac{x^4}{(x^2+2)^2} dx = \sqrt{2} \frac{1}{8} (3 \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} - 2\frac{2\sqrt{2}x}{2+x^2} + \frac{1}{4} \frac{4\sqrt{2}x(2-x^2)}{(2+x^2)^2}) + C = \frac{\sqrt{2}}{8} (3 \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{4\sqrt{2}x}{2+x^2} + \frac{\sqrt{2}x(2-x^2)}{(2+x^2)^2}) + C$

$= \frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{x}{2+x^2} + \frac{x(2-x^2)}{4(2+x^2)^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{x}{x^2+2} + \frac{x(2-x^2)}{4(x^2+2)^2} + C$