実数 $a, b$ について、次の不等式を証明する。 $|a+b|^p \le |a|^p + |b|^p$, ただし $0 < p \le 1$.

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、次の不等式を証明する。

$|a+b|^p \le |a|^p + |b|^p$, ただし $0 < p \le 1$.

2. 解き方の手順

まず、$a=0$ または $b=0$ の場合を考える。このとき、不等式は明らかに成り立つ。

次に、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ の場合を考える。

$x = \frac{|a|}{|a| + |b|}$ とおくと、$0 < x < 1$ である。

また、$\frac{|b|}{|a| + |b|} = 1-x$ となる。

$f(x) = x^p$ (ただし $0 < p \le 1$) を考えると、$f''(x) = p(p-1)x^{p-2}$ である。

$0 < p \le 1$ より、$p-1 \le 0$ なので、$f''(x) \le 0$ となり、$f(x)$ は上に凸な関数である。

したがって、イェンセンの不等式より、

$f(x_1 \lambda_1 + x_2 \lambda_2) \ge f(x_1) \lambda_1 + f(x_2) \lambda_2$

が成り立つ。

ここで、$x_1 = |a|, x_2 = |b|, \lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{2}$ とおくと、$x_1 \lambda_1 + x_2 \lambda_2 = \frac{|a| + |b|}{2}$ となる。

しかし、これではうまくいかない。

$|a+b| \le |a| + |b|$ であることを用いる。

$t = |a| + |b|$ とおく。

$g(x) = x^p$ は $x \ge 0$ で単調増加であるから、

$|a+b|^p \le (|a| + |b|)^p$ が成り立つ。

$|a| = A, |b| = B$ とおく。すると、$A, B \ge 0$ である。

証明すべきは、$(A+B)^p \le A^p + B^p$ である。

$B=0$ ならば $(A+0)^p \le A^p + 0^p$ より、$A^p \le A^p$ となり成立する。

$B>0$ とする。両辺を $B^p$ で割ると、

$(\frac{A}{B} + 1)^p \le (\frac{A}{B})^p + 1$

$x = \frac{A}{B} \ge 0$ とおくと、$(x+1)^p \le x^p + 1$ を示すことになる。

$h(x) = x^p + 1 - (x+1)^p$ とおくと、$h(0) = 0^p + 1 - (0+1)^p = 1-1 = 0$ である。

$h'(x) = px^{p-1} - p(x+1)^{p-1} = p[x^{p-1} - (x+1)^{p-1}]$ である。

$x \ge 0$ かつ $0 < p \le 1$ より、$x+1 > x \ge 0$ かつ $p-1 \le 0$ であるから、$x^{p-1} \ge (x+1)^{p-1}$ である。

よって、$h'(x) \ge 0$ となる。

したがって、$h(x)$ は単調増加であり、$x \ge 0$ で $h(x) \ge h(0) = 0$ となる。

ゆえに、$(x+1)^p \le x^p + 1$ が成り立つ。

これは $(\frac{A}{B} + 1)^p \le (\frac{A}{B})^p + 1$ を意味し、$(A+B)^p \le A^p + B^p$ が成り立つ。

つまり、$|a+b|^p \le (|a|+|b|)^p \le |a|^p + |b|^p$ が成立する。

3. 最終的な答え

$|a+b|^p \le |a|^p + |b|^p$ が証明された。