実数 $a, b$ について、次の不等式を証明する問題です。ただし、$0 < p \leq 1$ です。 $|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、次の不等式を証明する問題です。ただし、$0 < p \leq 1$ です。

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ の少なくとも一方が0の場合、不等式は明らかに成り立ちます。例えば、$a=0$ ならば、$|b|^p \leq 0 + |b|^p$ となり成立します。

次に、$|a|, |b| > 0$ の場合を考えます。

$x = \frac{|a|}{|a| + |b|}$ とおくと、$0 < x < 1$ です。

不等式を示すために、関数 $f(x) = x^p$ を考えます。$0 < p \leq 1$ なので、$f(x)$ は区間 $[0,1]$ で上に凸な関数です。

したがって、任意の $x, y \in [0,1]$ と $\lambda \in [0,1]$ に対して、次の不等式が成り立ちます。（イェンセンの不等式）

$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$

この事実を用いるのではなく、より基礎的な方法で証明します。

$|a+b| \leq |a| + |b|$ は常に成立するので、

$\frac{|a+b|}{|a|+|b|} \leq 1$

両辺を$p$乗すると、

$\left(\frac{|a+b|}{|a|+|b|}\right)^p \leq 1^p = 1$

$|a+b|^p \leq (|a|+|b|)^p$

ここで、$|a| + |b| > 0$なので、$c = \frac{|a|}{|a|+|b|}$とすると、$0 \leq c \leq 1$ です。

$|a| = c(|a|+|b|)$

$|b| = (1-c)(|a|+|b|)$

したがって

$|a|^p = c^p(|a|+|b|)^p$

$|b|^p = (1-c)^p(|a|+|b|)^p$

よって

$|a|^p + |b|^p = (c^p+(1-c)^p)(|a|+|b|)^p$

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$ を示すには、

$\left(\frac{|a+b|}{|a|+|b|}\right)^p \leq (\frac{|a|}{|a|+|b|})^p + (\frac{|b|}{|a|+|b|})^p$

を示せば良い。

つまり、$|a+b| \le |a|+|b|$ を用いると、$\left(\frac{|a+b|}{|a|+|b|}\right)^p \leq 1$なので、

$c=\frac{|a|}{|a|+|b|}$ とおくと、 $0 \leq c \leq 1$ なので、$1 \le c^p+(1-c)^p$ を示せばよい。

$f(x)=x^p$ に対して、$0<p\le 1$ より、$f''(x)=p(p-1)x^{p-2} \le 0$ ($x>0$) だから、$f$は上に凸な関数である。

したがって、$0<c<1$ のとき、$c^p+(1-c)^p \ge 1$ が成立する。

$c=0$ または $c=1$ のときも、$c^p+(1-c)^p = 1$ が成立する。

よって、 $c^p+(1-c)^p \ge 1$ が成立する。

したがって $|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

3. 最終的な答え

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$ (ただし、$0 < p \leq 1$)