与えられた4つの極限の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$ (2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$ (3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{|x-1|}$ (4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{|x-1|}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

(2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{|x-1|}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{|x-1|}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to +0$ であるので、$x>0$ となり、$|x| = x$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to +0} 1 = 1$

(2) $x \to -0$ であるので、$x<0$ となり、$|x| = -x$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to -0} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to -0} -1 = -1$

(3) $x \to 1+0$ であるので、$x>1$ となり、$x-1>0$ なので、$|x-1| = x-1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1+0} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} (x+1) = 1+1 = 2$

(4) $x \to 1-0$ であるので、$x<1$ となり、$x-1<0$ なので、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1-0} \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1-0} -(x+1) = -(1+1) = -2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1

(3) 2

(4) -2