与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて、被積分関数をより単純な分数の和に分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$

両辺に $(x+1)(x-2)(x-3)$ をかけると、

$1 = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)$

$x=-1$ のとき、

$1 = A(-3)(-4) + B(0) + C(0) = 12A$

$A = \frac{1}{12}$

$x=2$ のとき、

$1 = A(0) + B(3)(-1) + C(0) = -3B$

$B = -\frac{1}{3}$

$x=3$ のとき、

$1 = A(0) + B(0) + C(4)(1) = 4C$

$C = \frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3}$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} dx = \int \left(\frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3}\right) dx$

$= \frac{1}{12} \int \frac{1}{x+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x-3} dx$

$= \frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + C$