与えられた4つの2次不等式を解く問題です。 (1) $(x+3)(x-4) \ge 0$ (2) $x^2 + x < 0$ (3) $-x^2 + 5x - 6 < 0$ (4) $5x^2 + 7x - 6 \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解く問題です。

(1) $(x+3)(x-4) \ge 0$

(2) $x^2 + x < 0$

(3) $-x^2 + 5x - 6 < 0$

(4) $5x^2 + 7x - 6 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1)

$(x+3)(x-4) \ge 0$

この不等式が成り立つのは、$x+3 \ge 0$ かつ $x-4 \ge 0$、または $x+3 \le 0$ かつ $x-4 \le 0$ の場合です。

前者の場合、$x \ge -3$ かつ $x \ge 4$ より、$x \ge 4$。

後者の場合、$x \le -3$ かつ $x \le 4$ より、$x \le -3$。

(2)

$x^2 + x < 0$

$x(x+1) < 0$

この不等式が成り立つのは、$x > 0$ かつ $x+1 < 0$、または $x < 0$ かつ $x+1 > 0$ の場合です。

前者の場合、$x > 0$ かつ $x < -1$ となり、これは起こりえません。

後者の場合、$x < 0$ かつ $x > -1$ より、$-1 < x < 0$。

(3)

$-x^2 + 5x - 6 < 0$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

$(x-2)(x-3) > 0$

この不等式が成り立つのは、$x-2 > 0$ かつ $x-3 > 0$、または $x-2 < 0$ かつ $x-3 < 0$ の場合です。

前者の場合、$x > 2$ かつ $x > 3$ より、$x > 3$。

後者の場合、$x < 2$ かつ $x < 3$ より、$x < 2$。

(4)

$5x^2 + 7x - 6 \ge 0$

$(5x - 3)(x + 2) \ge 0$

この不等式が成り立つのは、$5x - 3 \ge 0$ かつ $x + 2 \ge 0$、または $5x - 3 \le 0$ かつ $x + 2 \le 0$ の場合です。

前者の場合、$x \ge \frac{3}{5}$ かつ $x \ge -2$ より、$x \ge \frac{3}{5}$。

後者の場合、$x \le \frac{3}{5}$ かつ $x \le -2$ より、$x \le -2$。

3. 最終的な答え

(1) $x \le -3, x \ge 4$

(2) $-1 < x < 0$

(3) $x < 2, x > 3$

(4) $x \le -2, x \ge \frac{3}{5}$