与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解することを目的とします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解することを目的とします。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ の部分を展開しやすいように並び替えます。

$(x+1)(x+7)$ と $(x+3)(x+5)$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7$

$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$

ここで、$y = x^2 + 8x$ と置くと、元の式は次のようになります。

$(y+7)(y+15) + 15$

これを展開すると、

$y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$

さらに因数分解すると、

$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$

ここで、$y = x^2 + 8x$ を代入すると、

$(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12)$

$(x^2 + 8x + 12)$ はさらに因数分解できます。

$x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)$

したがって、最終的に

$(x^2 + 8x + 10)(x+2)(x+6)$

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+6)(x^2+8x+10)$