問題2：横の長さが縦の長さより8cm長い長方形の画用紙がある。この画用紙の4隅から1辺が5cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、容積が640cm³になった。はじめの画用紙の縦の長さと横の長さはそれぞれ何cmか。 問題3：1辺の長さが25cmの正方形ABCDがある。点Pは、辺AB上を秒速1cmで頂点Aから頂点Bまで動く。また、点Qは、点Pと同時に出発して、辺CB上を秒速1cmで頂点Cから頂点Bまで動く。三角形APQの面積が68cm²になるのは、点Pが頂点Aを出発して何秒後か。

1. 問題の内容

問題2：横の長さが縦の長さより8cm長い長方形の画用紙がある。この画用紙の4隅から1辺が5cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、容積が640cm³になった。はじめの画用紙の縦の長さと横の長さはそれぞれ何cmか。

問題3：1辺の長さが25cmの正方形ABCDがある。点Pは、辺AB上を秒速1cmで頂点Aから頂点Bまで動く。また、点Qは、点Pと同時に出発して、辺CB上を秒速1cmで頂点Cから頂点Bまで動く。三角形APQの面積が68cm²になるのは、点Pが頂点Aを出発して何秒後か。

2. 解き方の手順

問題2：

画用紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $x+8$ cmとなる。

箱の底面の縦の長さは $x - 5 - 5 = x - 10$ cm、横の長さは $x + 8 - 5 - 5 = x + 8 - 10 = x - 2$ cmとなる。

箱の高さは5cmである。

箱の容積は、$5(x-10)(x-2) = 640$ である。

$(x-10)(x-2) = 128$

$x^2 - 12x + 20 = 128$

$x^2 - 12x - 108 = 0$

$(x - 18)(x + 6) = 0$

$x = 18, -6$

$x>0$ より、$x = 18$

縦の長さは18cm、横の長さは$18 + 8 = 26$ cm

問題3：

点Pが頂点Aを出発して$t$秒後とすると、APの長さは$t$cm、BQの長さは$25-t$cmとなる。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times BQ = \frac{1}{2} \times t \times (25-t) = 68$ である。

$t(25-t) = 136$

$25t - t^2 = 136$

$t^2 - 25t + 136 = 0$

$(t-8)(t-17) = 0$

$t=8, 17$

3. 最終的な答え

問題2：縦の長さは18cm、横の長さは26cm

問題3：8秒後、17秒後