与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。 (3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を、(2)で求めた逆行列を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

(3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を、(2)で求めた逆行列を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。

拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引く(第2行 <- 第2行 - 第1行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$

3行目に1行目を足す(第3行 <- 第3行 + 第1行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 7 & 3 & | & 2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の7/2倍を足す(第3行 <- 第3行 + (7/2) * 第2行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -1/2 & | & -3/2 \end{pmatrix}$

第3行 * (-2):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

第2行に第3行を足す(第2行 <- 第2行 + 第3行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

第2行 * (-1/2):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の3倍を引く(第1行 <- 第1行 - 3 * 第2行):

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

よって、$x = 5$, $y = -1$, $z = 3$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引く(第2行 <- 第2行 - 第1行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目を足す(第3行 <- 第3行 + 第1行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の7/2倍を足す(第3行 <- 第3行 + (7/2) * 第2行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 & | & -5/2 & 7/2 & 1 \end{pmatrix}$

第3行 * (-2):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

第2行に第3行を足す(第2行 <- 第2行 + 第3行):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & | & 4 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

第2行 * (-1/2):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の3倍を引く(第1行 <- 第1行 - 3 * 第2行):

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

よって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

(3) 連立1次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を、(2)で求めた逆行列を用いて解く。

$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 - 9 + 0 \\ -4 + 3 + 0 \\ 10 - 7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5, y = -1, z = 3$

(2) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$