関数 $f(x) = x^2 - 7x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。また、問題文中のアに入る適切な値を求める。

代数学二次関数最大値最小値平方完成場合分け
2025/7/16

1. 問題の内容

関数 f(x)=x27x+5f(x) = x^2 - 7x + 50xa0 \le x \le a における最大値 MM と最小値 mm を、aa の範囲によって場合分けして求める。また、問題文中のアに入る適切な値を求める。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) を平方完成する。
f(x)=x27x+5=(x72)2494+5=(x72)2294f(x) = x^2 - 7x + 5 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + 5 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{29}{4}
軸は x=72x = \frac{7}{2} である。定義域は 0xa0 \le x \le a である。
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき、最小値は x=ax=af(a)=a27a+5f(a) = a^2 - 7a + 5
最大値は x=0x=0f(0)=5f(0) = 5
(ii) 72a\frac{7}{2} \le a のとき、最小値は x=72x=\frac{7}{2}294-\frac{29}{4}
最大値は x=0x=0 もしくは x=ax=af(0)=5f(0)=5f(a)=a27a+5f(a)=a^2 -7a +5 を比較する。
a27a+5>5a^2-7a+5>5 を解くと、a27a>0a^2-7a>0, a(a7)>0a(a-7)>0, a<0a<0 or a>7a>7となる。
したがって、72a7\frac{7}{2} \le a \le 7の時、x=0x=0で最大値 f(0)=5f(0) = 5
7<a7 < aの時、x=ax=aで最大値f(a)=a27a+5f(a) = a^2-7a+5
アに入る値は、軸の値72=3.5\frac{7}{2}=3.5とわかる。またイは77
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき、最小値 m=a27a+5m = a^2 - 7a + 5、最大値 M=5M = 5
(ii) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7 のとき、最小値 m=294m = -\frac{29}{4}、最大値 M=5M = 5
(iii) 7<a7 < a のとき、最小値 m=294m = -\frac{29}{4}、最大値 M=a27a+5M = a^2 - 7a + 5

3. 最終的な答え

アに入る値は 72\frac{7}{2} である。
(i) 0<a<720 < a < \frac{7}{2} のとき、 M=5M = 5, m=a27a+5m = a^2 - 7a + 5
(ii) 72a7\frac{7}{2} \le a \le 7 のとき、M=5M = 5, m=294m = -\frac{29}{4}
(iii) 7<a7 < a のとき、M=a27a+5M = a^2 - 7a + 5, m=294m = -\frac{29}{4}