与えられた式 $(x-1)(x+5)(x+3)(x+1)$ を展開して整理せよ。

代数学多項式の展開因数分解代数計算

2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた式

(x-1)(x+5)(x+3)(x+1)

を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。まず、適切な組み合わせで括弧をまとめます。

(x-1)(x+5)(x+3)(x+1)

を

(x-1)(x+3)

と

(x+5)(x+1)

の積として考えます。

(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3

(x+5)(x+1) = x^2 + x + 5x + 5 = x^2 + 6x + 5

次に、これらの結果を掛け合わせます。

(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 6x + 5) = x^2(x^2 + 6x + 5) + 2x(x^2 + 6x + 5) - 3(x^2 + 6x + 5)

= x^4 + 6x^3 + 5x^2 + 2x^3 + 12x^2 + 10x - 3x^2 - 18x - 15

= x^4 + (6x^3 + 2x^3) + (5x^2 + 12x^2 - 3x^2) + (10x - 18x) - 15

= x^4 + 8x^3 + 14x^2 - 8x - 15

3. 最終的な答え

x^4 + 8x^3 + 14x^2 - 8x - 15

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