2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が与えられています。 この2次方程式が、以下の条件を満たすときの定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの実数解をもつ (2) 異なる2つの正の実数解をもつ (3) 正と負の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が与えられています。

この2次方程式が、以下の条件を満たすときの定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの実数解をもつ

(2) 異なる2つの正の実数解をもつ

(3) 正と負の解をもつ

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2mx - m + 6$ とおきます。

(1) 異なる2つの実数解をもつ場合

判別式 $D$ が正であれば良い。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24 = 4(m^2 + m - 6) = 4(m+3)(m-2)$

$D > 0$ となるためには、 $(m+3)(m-2) > 0$

したがって、$m < -3$ または $m > 2$

(2) 異なる2つの正の実数解をもつ場合

以下の条件を満たす必要があります。

(i) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解をもつ)

(ii) 軸の位置 $x = m > 0$ (2つの解が正であるためには、軸が正である必要がある)

(iii) $f(0) > 0$ (2つの解が正であるためには、 $f(0)$ が正である必要がある)

(i) $m < -3$ または $m > 2$ (上記(1)より)

(ii) $m > 0$

(iii) $f(0) = -m + 6 > 0$ より $m < 6$

したがって、$m$ の範囲は、$2 < m < 6$

(3) 正と負の解をもつ場合

$f(0) < 0$ であれば良い。

$f(0) = -m + 6 < 0$

$m > 6$

3. 最終的な答え

(1) $m < -3$ または $m > 2$

(2) $2 < m < 6$

(3) $m > 6$