2次関数 $y = 2x^2 + 12x + 13$ の $-5 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 12x + 13$ の $-5 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 12x + 13$

$y = 2(x^2 + 6x) + 13$

$y = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 13$

$y = 2((x+3)^2 - 9) + 13$

$y = 2(x+3)^2 - 18 + 13$

$y = 2(x+3)^2 - 5$

したがって、与えられた2次関数の頂点は $(-3, -5)$ である。

次に、定義域 $-5 \le x \le 0$ 内で関数の増減を調べる。

頂点の $x$ 座標は $-3$ なので、 $-5 \le x \le 0$ の範囲に含まれている。

$x = -3$ のとき、 $y = -5$ となる。

$x = -5$ のとき、

$y = 2(-5+3)^2 - 5 = 2(-2)^2 - 5 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

$x = 0$ のとき、

$y = 2(0+3)^2 - 5 = 2(3)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13$

したがって、定義域 $-5 \le x \le 0$ において、$x = 0$ で最大値 $13$ をとり、$x = -3$ で最小値 $-5$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: 13 ($x=0$のとき)

最小値: -5 ($x=-3$のとき)