1個の仕入れ価格が100の商品がある。1個あたりの儲けを $x$ ($0 \le x \le 100$) とする。1個を $100+x$ で販売すると、1日の販売個数は $240-2x$ となる。1日の儲けを $y$ とすると、以下の問いに答える。 * $y$ を $x$ の式で表す。 * $y$ が最大となるときの $x$ の値を求める。 * $y \ge 7000$ を満たす最小の販売価格 $100+x$ を求める。

1. 問題の内容

1個の仕入れ価格が100の商品がある。1個あたりの儲けを $x$ ($0 \le x \le 100$) とする。1個を $100+x$ で販売すると、1日の販売個数は $240-2x$ となる。1日の儲けを $y$ とすると、以下の問いに答える。

* $y$ を $x$ の式で表す。

* $y$ が最大となるときの $x$ の値を求める。

* $y \ge 7000$ を満たす最小の販売価格 $100+x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ の式で表す。$y$ は「1個あたりの儲け」に「1日の販売個数」をかけたものなので、

$y = x(240 - 2x)$

$y = -2x^2 + 240x$

次に、$y$ が最大となるときの $x$ の値を求める。$y$ は $x$ の2次関数なので、平方完成することで最大値を求めることができる。

$y = -2(x^2 - 120x)$

$y = -2(x^2 - 120x + 3600 - 3600)$

$y = -2((x-60)^2 - 3600)$

$y = -2(x-60)^2 + 7200$

よって、$y$ は $x = 60$ のとき最大値 $7200$ をとる。

最後に、$y \ge 7000$ を満たす最小の販売価格 $100+x$ を求める。

$-2x^2 + 240x \ge 7000$

$-2x^2 + 240x - 7000 \ge 0$

$2x^2 - 240x + 7000 \le 0$

$x^2 - 120x + 3500 \le 0$

$(x-50)(x-70) \le 0$

$50 \le x \le 70$

よって、$y \ge 7000$ を満たす最小の $x$ の値は $50$ である。したがって、最小の販売価格は $100 + 50 = 150$ である。

3. 最終的な答え

* $y = -2x^2 + 240x$

* $x = 60$

* $100+x = 150$