2次不等式 $x^2 + 3(k-1)x + \frac{3}{4}k - \frac{1}{4} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。選択肢から適切な不等号と範囲を選びます。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 3(k-1)x + \frac{3}{4}k - \frac{1}{4} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。選択肢から適切な不等号と範囲を選びます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ が必要です。

この問題では、$a=1$ なので $a>0$ の条件は満たされています。判別式を計算し、$D < 0$ となるような $k$ の範囲を求めます。

判別式 $D$ は

$D = (3(k-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\frac{3}{4}k - \frac{1}{4})$

$= 9(k^2 - 2k + 1) - (3k - 1)$

$= 9k^2 - 18k + 9 - 3k + 1$

$= 9k^2 - 21k + 10$

$D < 0$ より

$9k^2 - 21k + 10 < 0$

$(3k - 2)(3k - 5) < 0$

したがって、$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ となります。

選択肢の数値と比較して $\frac{2}{3}$ と $\frac{5}{3}$ に近いものを探します。

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ であり、$\frac{7}{8}$ は少し大きく、$\frac{11}{12}$ は大きすぎるので、$\frac{7}{8}$ が最も近い選択肢ではないでしょう。$\frac{11}{12}$ は $\frac{2}{3}$ より大きいため適切ではありません。

$\frac{5}{3}$ は $\frac{20}{12}$ なので、$\frac{11}{12}$ は小さすぎるため適切ではありません。

不等式の解は $\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ なので、選択肢の中から $k$ の範囲に合う数値を探すと、$\frac{7}{8}$ と $\frac{11}{12}$ が候補となります。

$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$

$\frac{2}{3} = 0.666...$

$\frac{5}{3} = 1.666...$

$\frac{7}{8} = 0.875$

$\frac{11}{12} = 0.9166...$

したがって、$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ となるための必要十分条件は、$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ であるため、

$k > \frac{7}{8}$ でもあり、$k < \frac{11}{12}$ でもあることは不可能です。

$9k^2-21k+10<0$ を満たす $k$ の範囲は $\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ です。選択肢の数字に近いものを考えると、$\frac{7}{8}=0.875$, $\frac{11}{12}=0.91666\ldots$です。一方、$\frac{2}{3}=0.6666\ldots$, $\frac{5}{3}=1.6666\ldots$なので、$9$は「$<$」、$10$は「$<$」を選びます。

$9$ は、不等号 $<$, $10$ は不等号 $<$ を選択します。範囲としては $\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$ です。この範囲に入る選択肢は $\frac{7}{8}, \frac{11}{12}$ はあり得ません。

誤りがありました。正しくは

$\frac{2}{3}<k<\frac{5}{3}$

なので、9は>で、10は<となります。

3. 最終的な答え

$9$: $>$, $10$: $<$

$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$