2次不等式 $5x^2 - 4x - 12 < 0$ を満たす整数の個数を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

2次不等式 $5x^2 - 4x - 12 < 0$ を満たす整数の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式を解きます。

$5x^2 - 4x - 12 < 0$

左辺を因数分解します。

$(5x + 6)(x - 2) < 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲は $-\frac{6}{5} < x < 2$ です。

$-\frac{6}{5} = -1.2$ であるので、この範囲に含まれる整数は、-1, 0, 1 です。したがって、整数の個数は3個です。

3. 最終的な答え

3

## 問題2

1. 問題の内容

連立不等式

$x^2 - 8x - 9 \le 0$

$x^2 - 9x + 14 \ge 0$

の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 8x - 9 \le 0$ を解きます。

$(x - 9)(x + 1) \le 0$

より、$-1 \le x \le 9$

次に、$x^2 - 9x + 14 \ge 0$ を解きます。

$(x - 2)(x - 7) \ge 0$

より、$x \le 2$ または $x \ge 7$

2つの不等式の共通範囲は、

$-1 \le x \le 2$ または $7 \le x \le 9$

したがって、解は $-1 \le x \le 2$ , $7 \le x \le 9$ となります。

選択肢より、小さい方から順に、-1, 2, 7, 9 となります。

2, 3, 4, 5, 6の枠に当てはめると、

2: -1

3: 2

4: 7

5: 7

6: 9

3. 最終的な答え

2: -1

3: 2

4: 7

5: 7

6: 9

## 問題3

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 3(k-1)x + \frac{3}{4}k - \frac{1}{4} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような実数 $k$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

すべての実数 $x$ について $x^2 + 3(k-1)x + \frac{3}{4}k - \frac{1}{4} > 0$ が成り立つためには、2次方程式 $x^2 + 3(k-1)x + \frac{3}{4}k - \frac{1}{4} = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要があります。

$D = (3(k-1))^2 - 4(\frac{3}{4}k - \frac{1}{4}) < 0$

$9(k^2 - 2k + 1) - 3k + 1 < 0$

$9k^2 - 18k + 9 - 3k + 1 < 0$

$9k^2 - 21k + 10 < 0$

$(3k - 2)(3k - 5) < 0$

$\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$

$\frac{2}{3} = 0.66...$, $\frac{5}{3} = 1.66...$ なので、選択肢の中から当てはまるものを選ぶと、

$\frac{7}{12} = 0.5833... < \frac{2}{3}$,

$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$,

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$,

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6} = 0.8333...$,

$\frac{11}{12} = 0.9166...$,

$\frac{12}{12} = 1$

$\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12}, 1 < \frac{5}{3}$ なので、選択肢7から12は不適。

$k > \frac{2}{3}$, $k < \frac{5}{3}$を満たす範囲は, $\frac{2}{3} < k < \frac{5}{3}$

$2/3 < k < 5/3$.

選択肢にある数字を参考にすると、$0.66 < k < 1.66$である。

選択肢にある数字から選ぶ必要があるので、$k$は9と10の間にある。

$2/3 < k$なので9には7が入ると考えられる。

$k < 5/3$なので、10には11が入ると考えられる。

3. 最終的な答え

9: 7

10: 11