縦の長さが横の長さより8cm短い長方形の画用紙がある。その四隅から一辺が5cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が640 $cm^3$になった。最初の画用紙の縦と横の長さを求めよ。

1. 問題の内容

縦の長さが横の長さより8cm短い長方形の画用紙がある。その四隅から一辺が5cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が640 $cm^3$になった。最初の画用紙の縦と横の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

最初の画用紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは$(x + 8)$ cmとなる。

四隅から一辺が5cmの正方形を切り取って作られる直方体の容器の高さは5cm。

容器の底面の縦の長さは $(x - 5 \times 2) = (x - 10)$ cm。

容器の底面の横の長さは $((x + 8) - 5 \times 2) = (x + 8 - 10) = (x - 2)$ cm。

したがって、容器の容積は、

$5 (x - 10) (x - 2) = 640$

$(x - 10) (x - 2) = 128$

$x^2 - 12x + 20 = 128$

$x^2 - 12x - 108 = 0$

$(x - 18) (x + 6) = 0$

$x = 18$ または $x = -6$

縦の長さは正なので、$x = 18$。

したがって、縦の長さは18cm、横の長さは $18 + 8 = 26$ cm。

3. 最終的な答え

縦の長さ: 18 cm

横の長さ: 26 cm