数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{4 - a_n}{3 - a_n}$ ($n \ge 1$) で定義される。 (1) $b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ とおいたとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) $b_n$ を $n$ で表せ。 (3) $a_n$ を $n$ で表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{4 - a_n}{3 - a_n}$ ($n \ge 1$) で定義される。

(1) $b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ とおいたとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) $b_n$ を $n$ で表せ。

(3) $a_n$ を $n$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1} - 2}$ であり、$a_{n+1} = \frac{4 - a_n}{3 - a_n}$ であるから、

$b_{n+1} = \frac{1}{\frac{4 - a_n}{3 - a_n} - 2} = \frac{1}{\frac{4 - a_n - 2(3 - a_n)}{3 - a_n}} = \frac{1}{\frac{4 - a_n - 6 + 2a_n}{3 - a_n}} = \frac{1}{\frac{a_n - 2}{3 - a_n}} = \frac{3 - a_n}{a_n - 2} = \frac{3 - a_n}{a_n - 2}$.

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ より、$a_n - 2 = \frac{1}{b_n}$ なので、$a_n = \frac{1}{b_n} + 2$ である。

よって、$b_{n+1} = \frac{3 - (\frac{1}{b_n} + 2)}{\frac{1}{b_n}} = \frac{1 - \frac{1}{b_n}}{\frac{1}{b_n}} = \frac{\frac{b_n - 1}{b_n}}{\frac{1}{b_n}} = b_n - 1$.

(2) $b_n$ を $n$ で表す。

$b_{n+1} = b_n - 1$ より、数列 $\{b_n\}$ は公差 $-1$ の等差数列である。

$b_1 = \frac{1}{a_1 - 2} = \frac{1}{1 - 2} = -1$ であるから、

$b_n = b_1 + (n - 1)(-1) = -1 - (n - 1) = -1 - n + 1 = -n$.

(3) $a_n$ を $n$ で表す。

$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ より、$a_n - 2 = \frac{1}{b_n}$ なので、$a_n = \frac{1}{b_n} + 2$ である。

$b_n = -n$ より、$a_n = \frac{1}{-n} + 2 = 2 - \frac{1}{n} = \frac{2n - 1}{n}$.

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n - 1$

(2) $b_n = -n$

(3) $a_n = \frac{2n - 1}{n}$