(1) 2次方程式 $x^2 + 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、解と定数 $m$ の値を求める。ただし、解を $\alpha$ と $4\alpha$ とし、$\alpha < 4\alpha$ とする。 (2) 2次方程式 $x^2 + 3mx + m^2 + m + 15 = 0$ の二つの解の和が12であるとき、解と定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、解と定数 $m$ の値を求める。ただし、解を $\alpha$ と $4\alpha$ とし、$\alpha < 4\alpha$ とする。

(2) 2次方程式 $x^2 + 3mx + m^2 + m + 15 = 0$ の二つの解の和が12であるとき、解と定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 解を $\alpha$ と $4\alpha$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + 4\alpha = -10$

$5\alpha = -10$

$\alpha = -2$

$4\alpha = -8$

$\alpha \cdot 4\alpha = m$

$4\alpha^2 = m$

$4(-2)^2 = m$

$m = 16$

したがって、$x = -8, -2$ であり、$m = 16$ である。

(2) 解を $\beta$ と $\gamma$ とすると、解と係数の関係から、

$\beta + \gamma = -3m$

また、$\beta + \gamma = 12$ より、

$-3m = 12$

$m = -4$

$x^2 + 3mx + m^2 + m + 15 = 0$ に $m = -4$ を代入すると、

$x^2 - 12x + (-4)^2 + (-4) + 15 = 0$

$x^2 - 12x + 16 - 4 + 15 = 0$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

$(x - 3)(x - 9) = 0$

$x = 3, 9$

したがって、$x = 3, 9$ であり、$m = -4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = -8, -2$, $m = 16$

(2) $x = 3, 9$, $m = -4$