与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有空間を求める問題です。 (1) の行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) の行列は $B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ -2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有空間を求める問題です。

(1) の行列は

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) の行列は

$B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ -2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の場合

(a) 固有方程式を立てる。$\det(A - \lambda I) = 0$ を解く。ここで、$I$ は単位行列であり、$\lambda$ は固有値を表します。

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & -1 \\ -2 & -\lambda & 1 \\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0$

$(1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)-2) - (-1)(-2(1-\lambda)-2) + (-1)(-4+2\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(-\lambda + \lambda^2 - 2) + (-2+2\lambda + 2) + (4-2\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2) + 2\lambda + 4 - 2\lambda = 0$

$\lambda^2 - \lambda - 2 - \lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0$

$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda + 2 = 0$

$\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda - 2 = 0$

$(\lambda-2)(\lambda^2 - 1) = \lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2=0$

よって固有値は $\lambda = -1, 1, 2$

(b) 各固有値に対応する固有空間を求める。

$\lambda = -1$ の場合:

$(A - (-1)I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - y - z = 0$ と $-2x + y + z = 0$ と $2x + 2y + 2z = 0$ より、

$x + y + z = 0$.

$y = -x-z$ を $2x - y - z = 0$ に代入すると、$2x - (-x-z) - z = 3x=0$. よって $x=0$.

$y = -z$.

したがって、固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

$\lambda = 1$ の場合:

$(A - I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-y-z = 0$ と $-2x - y + z = 0$ と $2x + 2y = 0$ より、

$y=-x$.

$-x = z$.

したがって、$x = 1$ とすると $y = -1, z = -1$。固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

$\lambda = 2$ の場合:

$(A - 2I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - y - z = 0$ と $-2x - 2y + z = 0$ と $2x + 2y - z = 0$ より、

$z = -x - y$.

$-2x - 2y + z = -2x - 2y - x - y = -3x - 3y = 0$ より $x+y=0$. つまり $y = -x$.

$z=0$.

したがって、$x = 1$ とすると $y = -1, z = 0$。固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

(2) 行列 $B$ の場合

(a) 固有方程式を立てる。$\det(B - \lambda I) = 0$ を解く。

$\det(B - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -4 & 4 \\ -2 & -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0$

$(1-\lambda)((-1-\lambda)(1-\lambda)-8) - (-4)(-2(1-\lambda)-4) + 4(-4+1+\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(-1+\lambda-\lambda+\lambda^2-8) + 4(-2+2\lambda-4) + 4(-3+\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 9) + 4(-6+2\lambda) + (-12+4\lambda) = 0$

$\lambda^2 - 9 - \lambda^3 + 9\lambda - 24 + 8\lambda - 12 + 4\lambda = 0$

$-\lambda^3 + \lambda^2 + 21\lambda - 45 = 0$

$\lambda^3 - \lambda^2 - 21\lambda + 45 = 0$

$(\lambda-3)(\lambda^2+2\lambda-15) = 0$

$(\lambda-3)(\lambda-3)(\lambda+5)=0$

よって固有値は $\lambda = -5, 3$

(b) 各固有値に対応する固有空間を求める。

$\lambda = -5$ の場合:

$(B - (-5)I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x - 4y + 4z = 0$ と $-2x + 4y + 4z = 0$ と $x + 2y + 6z = 0$ より、

$3x - 2y + 2z = 0$ と $-x + 2y + 2z = 0$ と $x + 2y + 6z = 0$。

$4x = 0$より、$x=0$. $2y + 2z = 0$. $y = -z$. したがって固有ベクトルは$v = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

$\lambda = 3$ の場合:

$(B - 3I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & -4 & 4 \\ -2 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x - 4y + 4z = 0$ より、$x + 2y - 2z = 0$

$x = -2y + 2z$ となるので、固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} -2y + 2z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合。

3. 最終的な答え

(1) の行列 $A$ の固有値は $\lambda = -1, 1, 2$。

固有空間はそれぞれ $v = c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (ここで、$c_1, c_2, c_3$ は任意の定数)。

(2) の行列 $B$ の固有値は $\lambda = -5, 3$。

固有空間はそれぞれ $v = c_4 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v = c_5\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_6\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (ここで、$c_4, c_5, c_6$ は任意の定数)。