与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$A = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ 、$\lambda$ は固有値、$I$ は単位行列です。

$\begin{vmatrix} 7-\lambda & -6 \\ 3 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(-2-\lambda) - (-6)(3) = 0$

$-14 - 7\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 18 = 0$

$\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 4$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき、

$\begin{pmatrix} 7-1 & -6 \\ 3 & -2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x - 6y = 0$

$x = y$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

$\lambda_2 = 4$ のとき、

$\begin{pmatrix} 7-4 & -6 \\ 3 & -2-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - 6y = 0$

$x = 2y$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ 、$\lambda$ は固有値、$I$ は単位行列です。

$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 3 \\ 4 & 9-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(9-\lambda) - (3)(4) = 0$

$45 - 5\lambda - 9\lambda + \lambda^2 - 12 = 0$

$\lambda^2 - 14\lambda + 33 = 0$

$(\lambda - 3)(\lambda - 11) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = 11$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 3$ のとき、

$\begin{pmatrix} 5-3 & 3 \\ 4 & 9-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 3y = 0$

$x = -\frac{3}{2}y$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

$\lambda_2 = 11$ のとき、

$\begin{pmatrix} 5-11 & 3 \\ 4 & 9-11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x + 3y = 0$

$2x = y$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

3. 最終的な答え

(1)

固有値: $\lambda_1 = 1$, 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_2 = 4$, 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

固有値: $\lambda_1 = 3$, 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_2 = 11$, 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$