与えられた行列について、固有値と固有ベクトルを求めよ。 (1) $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 4 & 3 & -4 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

はい、線形代数学の問題ですね。画像に基づいて、行列の固有値と固有ベクトルを求める問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた行列について、固有値と固有ベクトルを求めよ。

(1) $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 4 & 3 & -4 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$の固有値を求める。

特性方程式: $|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} 4 - \lambda & -1 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-1)(2) = 0$

$4 - 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$

$(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 3$.

ただし、$\lambda_1 < \lambda_2$とする。

$\lambda_1 = 2$に対応する固有ベクトル $u_1$を求める。

$(A - 2I)u_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - y = 0$

$y = 2x$

$u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 3$に対応する固有ベクトル $u_2$を求める。

$(A - 3I)u_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$

$y = x$

$u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$の固有値を求める。

特性方程式: $|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} -4 - \lambda & -2 \\ 3 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (-4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)(3) = 0$

$-4 + 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 6 = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$

$(\lambda + 1)(\lambda + 2) = 0$

固有値は $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = -1$.

ただし、$\lambda_1 < \lambda_2$とする。

$\lambda_1 = -2$に対応する固有ベクトル $u_1$を求める。

$(A + 2I)u_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x - 2y = 0$

$x = -y$

$u_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -1$に対応する固有ベクトル $u_2$を求める。

$(A + I)u_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x - 2y = 0$

$2y = -3x$

$y = -\frac{3}{2} x$

$u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 4 & 3 & -4 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$の固有値を求める。

特性方程式: $|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} -3 - \lambda & -2 & 4 \\ 4 & 3 - \lambda & -4 \\ -2 & -2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0$

$(-3-\lambda)((3-\lambda)(3-\lambda)-8) + 2(4(3-\lambda)-8) + 4(-8+2(3-\lambda)) = 0$

$(-3-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+1) + 2(4-4\lambda) + 4(-2-2\lambda) = 0$

$-3\lambda^2+18\lambda-3-\lambda^3+6\lambda^2-\lambda + 8-8\lambda -8 -8\lambda = 0$

$-\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3=0$

$\lambda^3-3\lambda^2-\lambda+3=0$

$(\lambda-3)(\lambda^2-1)=0$

$(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1)=0$

固有値は $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 3$.

3. 最終的な答え

(1)

ア = 2

イ = 3

ウ = 2

エ = 1

シ = 1

ス = 2

セ = 1

(2)

オ = -2

カ = -1

キ = 1

ク = -3

(3)

ケ = -1

コ = 1

サ = 3