与えられた2つの行列の固有値と固有空間を求めます。 (1) の行列は $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) の行列は $\begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ -2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の固有値と固有空間を求めます。

(1) の行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) の行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ -2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

固有値を求めるには、まず特性方程式を解く必要があります。行列 $A$ の特性方程式は、$\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。固有空間は、求めた固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $\mathbf{v}$ (固有ベクトル) の張る空間です。

(1) の行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & -1 \\ -2 & -\lambda & 1 \\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)[\lambda(\lambda-1) - 2] + 1[-2(1-\lambda) - 2] - 1[-4 + 2\lambda]$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2) + (-2+2\lambda - 2) - (-4+2\lambda)$

$= (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 1) + 2\lambda - 4 + 4 - 2\lambda$

$= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2$

$= -(\lambda - 2)(\lambda + 1)(\lambda - 1)$

特性方程式は $-(\lambda - 2)(\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$ なので、固有値は $\lambda = 2, 1, -1$ です。

$\lambda = 2$ のとき、

$A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、$x = -y, -2x -2y+z=0$ なので、$z = 0$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ のスカラー倍。固有空間は $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

$\lambda = 1$ のとき、

$A - I = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、$y=-z, -2x-y+z=0$ なので $-2x+2z = 0$ より $x=z$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍。固有空間は $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

$\lambda = -1$ のとき、

$A + I = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$x+y+z = 0$, $2x-y-z = 0$, $2x = y+z$。よって $4x=0$ より $x=0$。$y=-z$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍。固有空間は $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

(2) の行列を $B$ とします。

$B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ -2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -4 & 4 \\ -2 & -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(B - \lambda I) = (1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda)-8] + 4[-2(1-\lambda) - 4] + 4[-4 + (1+\lambda)]$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 9) + 4(2\lambda - 6) + 4(\lambda - 3)$

$= (1-\lambda)(\lambda - 3)(\lambda + 3) + 8\lambda - 24 + 4\lambda - 12$

$= -\lambda^3 + \lambda^2 + 9\lambda - 9 + 12\lambda - 36$

$= -\lambda^3 + \lambda^2 + 21\lambda - 45$

特性方程式を数値計算ソフトウェアで解くと $\lambda = -5, 3, 3$ となります。

$\lambda = -5$ のとき、

$B + 5I = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

連立一次方程式を解くと $3x-2y+2z=0, -x+2y+2z = 0, x+2y+6z=0$.

$4x = 0, 3x-2y+2z=0$ より $x=0, -2y+2z=0, 2y+6z = 0$ より $y=z = 0$ は自明な解。

連立一次方程式を行基本変形して解きましょう。

$\begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 8 & 16 \\ 0 & -16 & -32 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x+2y+6z=0$, $y+2z=0$, $y=-2z$, $x = -2y - 6z = 4z-6z = -2z$

$\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍。

$\lambda = 3$ のとき、

$B - 3I = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 4 \\ -2 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

$-2x-4y+4z=0$、$x+2y-2z=0$ なので $x = -2y+2z$

$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) の行列の固有値は $\lambda = 2, 1, -1$。固有空間はそれぞれ、$\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

(2) の行列の固有値は $\lambda = -5, 3, 3$。固有空間はそれぞれ、$\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$, $\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$