与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。ここで、 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 7 \\ -4 & 1 & 3 \\ 9 & -1 & -7 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。ここで、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 7 \\ -4 & 1 & 3 \\ 9 & -1 & -7 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、ガウスの消去法（掃き出し法）を用いて拡大行列 $(A|B)$ を簡約化します。

拡大行列は以下の通りです。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & -1 & -8 & 5 & 7 \\ 1 & 0 & -1 & -4 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 3 & 9 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 2 \end{array} \right)$

まず、2行目から1行目を引きます。また、3行目に1行目の2倍を加えます。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & -1 & -8 & 5 & 7 \\ 0 & 4 & 0 & 4 & -4 & -4 \\ 0 & -8 & 1 & -7 & 9 & 7 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 2 \end{array} \right)$

次に、2行目を4で割ります。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & -1 & -8 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -8 & 1 & -7 & 9 & 7 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 2 \end{array} \right)$

次に、1行目に2行目の4倍を加えます。3行目に2行目の8倍を加えます。4行目に2行目を加えます。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -4 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right)$

次に、4行目に3行目を加えます。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -4 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

最後に、1行目に3行目を加えます。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

したがって、行列 $X$ は

$X = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$