与えられた3次式 $x^3 - 4x^2 + x + 6$ を因数定理を用いて因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 4x^2 + x + 6$ を因数定理を用いて因数分解する。

2. 解き方の手順

* 因数定理とは、$P(a)=0$ ならば、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つという定理である。

* まず、$x$ に整数値を代入して、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ となる $x$ を探す。

* $x = 1$ のとき、$1^3 - 4(1^2) + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$

* $x = -1$ のとき、$(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$

* したがって、$x = -1$ は与式の解であり、$x + 1$ は因数である。

* 次に、$x^3 - 4x^2 + x + 6$ を $x + 1$ で割る。

$$$$

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -5x & +6 \\

\cline{2-6}

x+1 & x^3 & -4x^2 & +x & +6 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -5x^2 & +x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -5x^2 & -5x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 6x & +6 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 6x & +6 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

* 商は $x^2 - 5x + 6$ である。

* $x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、$(x-2)(x-3)$ となる。

* したがって、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-2)(x-3)$