与えられた式を計算して簡略化します。与えられた式は次の通りです。 $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡略化します。与えられた式は次の通りです。

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

2. 解き方の手順

まず、第2項の分母の符号を反転させます。

$\frac{b^3}{(b-a)(b-c)} = \frac{b^3}{-(a-b)(b-c)} = -\frac{b^3}{(a-b)(b-c)}$

同様に、第3項の分母の符号を反転させます。

$\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{c^3}{-(a-c)(c-b)} = \frac{c^3}{(a-c)(b-c)}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^3}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^3}{(a-c)(b-c)}$

通分します。共通の分母は $(a-b)(a-c)(b-c)$ となります。

$\frac{a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

分子を展開します。

$a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b) = a^3b - a^3c - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3$

これを整理します。

$a^3b - ab^3 + b^3c - bc^3 + ac^3 - a^3c = ab(a^2 - b^2) + c^3(a-b) - c(a^3 - b^3)$

$= ab(a-b)(a+b) + c^3(a-b) - c(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$=(a-b)[ab(a+b) + c^3 - c(a^2+ab+b^2)]$

$=(a-b)[a^2b + ab^2 + c^3 - a^2c - abc - b^2c]$

$=(a-b)[(a^2b - a^2c) + (ab^2 - abc) + (c^3 - b^2c)]$

$=(a-b)[a^2(b-c) + ab(b-c) + c(c^2 - b^2)]$

$=(a-b)[a^2(b-c) + ab(b-c) - c(b-c)(b+c)]$

$=(a-b)(b-c)[a^2 + ab - c(b+c)]$

$=(a-b)(b-c)[a^2 + ab - bc - c^2]$

$=(a-b)(b-c)[a^2 - c^2 + ab - bc]$

$=(a-b)(b-c)[(a-c)(a+c) + b(a-c)]$

$=(a-b)(b-c)(a-c)[a+c+b]$

$=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$

したがって、

$\frac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a+b+c$

3. 最終的な答え

$a+b+c$