次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$を変形する。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{4}(a_n - \alpha)$

$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n + \frac{3}{4}\alpha$

この式と元の式を比較して、

$\frac{3}{4}\alpha = 1$

$\alpha = \frac{4}{3}$

したがって、

$a_{n+1} - \frac{4}{3} = \frac{1}{4}(a_n - \frac{4}{3})$

数列$\{a_n - \frac{4}{3}\}$は、初項$a_1 - \frac{4}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$、公比$\frac{1}{4}$の等比数列であるから、

$a_n - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1}$

$a_n = -\frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$

$a_n = \frac{1}{3} \{4 - (\frac{1}{4})^{n-1}\}$

(2)

$a_{n+1} = 2a_n + n - 1$

$a_{n+2} = 2a_{n+1} + n$

2式を引き算すると

$a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n) + 1$

$b_n = a_{n+1} - a_n$とおくと

$b_{n+1} = 2b_n + 1$

$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$

$b_1 = a_2 - a_1 = (2a_1 + 1 - 1) - a_1 = 2a_1 - a_1 = a_1 = 1$

数列$\{b_n + 1\}$は初項$b_1 + 1 = 2$, 公比2の等比数列である。

$b_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$b_n = 2^n - 1$

$a_{n+1} - a_n = 2^n - 1$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1)$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} - (n-1)$

$a_n = 1 + 2^n - 2 - n + 1$

$a_n = 2^n - n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3} (4 - (\frac{1}{4})^{n-1})$

(2) $a_n = 2^n - n$