数列 ${a_n}$ が与えられています。 初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ で定義されています。この数列の一般項を求めよという問題です。

1. 問題の内容

数列 ${a_n}$ が与えられています。

初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ で定義されています。この数列の一般項を求めよという問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形して、等比数列の形に持ち込みます。

$a_{n+1} = \frac{1}{4} a_n + 1$

特性方程式を立てます。特性方程式とは、漸化式で $a_{n+1}$ と $a_n$ を同じ文字 $x$ で置き換えた方程式のことです。

$x = \frac{1}{4}x + 1$

$4x = x + 4$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{4}{3} = \frac{1}{4} (a_n - \frac{4}{3})$

ここで、$b_n = a_n - \frac{4}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{4} b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列であることを意味します。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - \frac{4}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$ となります。

よって、$b_n = b_1 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} = -\frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = b_n + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = -\frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$