無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

## 例題32 (1)

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

まず、部分分数分解を用いて一般項を分解する。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

$1 = A(n+2) + Bn$

$1 = (A+B)n + 2A$

$A+B=0$, $2A=1$ より、$A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

次に、部分和 $S_N$ を計算する。

$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+2}\right) \right]$

これはtelescoping sumなので、多くの項がキャンセルされる。

$S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} \right)$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{N+1} \to 0$, $\frac{1}{N+2} \to 0$ なので、

$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4}$

したがって、与えられた無限級数は収束し、その和は $\frac{3}{4}$ である。

3. 最終的な答え

収束し、和は $\frac{3}{4}$ である。