$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x+x^2}}$ を、$\sqrt{x^2-x+1} = t-x$ とおくことで、$t$に関する積分に変換して解く問題です。画像には、その過程と最終的な答えが示されています。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x+x^2}}$ を、$\sqrt{x^2-x+1} = t-x$ とおくことで、$t$に関する積分に変換して解く問題です。画像には、その過程と最終的な答えが示されています。

2. 解き方の手順

与えられた置換 $\sqrt{x^2-x+1} = t-x$ より、$x = \frac{t^2-1}{2t-1}$ および $\frac{dx}{dt} = \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}$ が得られています。これらを用いて、元の積分を$t$の積分に変換します。

まず、積分の中身を変換します。

$x+1 = \frac{t^2-1}{2t-1} + 1 = \frac{t^2-1+2t-1}{2t-1} = \frac{t^2+2t-2}{2t-1}$

$\sqrt{1-x+x^2} = t-x = t - \frac{t^2-1}{2t-1} = \frac{2t^2-t-t^2+1}{2t-1} = \frac{t^2-t+1}{2t-1}$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x+x^2}} = \frac{2t-1}{t^2+2t-2} \cdot \frac{2t-1}{t^2-t+1}$

これに $\frac{dx}{dt} = \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}$ を掛けると、

$\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x+x^2}} = \frac{2t-1}{t^2+2t-2} \cdot \frac{2t-1}{t^2-t+1} \cdot \frac{2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2} dt = \frac{2}{t^2+2t-2}dt$

したがって、

$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x+x^2}} = \int \frac{2}{t^2+2t-2} dt$

ここで、$t^2+2t-2 = (t+1)^2 - 3 = (t+1)^2 - (\sqrt{3})^2$ と変形します。

$\frac{2}{(t+1)^2 - 3} = \frac{2}{(t+1-\sqrt{3})(t+1+\sqrt{3})} = \frac{A}{t+1-\sqrt{3}} + \frac{B}{t+1+\sqrt{3}}$

とおくと、$2 = A(t+1+\sqrt{3}) + B(t+1-\sqrt{3})$ が成り立ちます。

$t=-1-\sqrt{3}$のとき、$2 = B(-2\sqrt{3})$ より $B = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$t=-1+\sqrt{3}$のとき、$2 = A(2\sqrt{3})$ より $A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、

$\frac{2}{(t+1)^2-3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{t+1-\sqrt{3}} - \frac{1}{t+1+\sqrt{3}} \right)$

$\int \frac{2}{t^2+2t-2} dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \left( \frac{1}{t+1-\sqrt{3}} - \frac{1}{t+1+\sqrt{3}} \right) dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \log |t+1-\sqrt{3}| - \log |t+1+\sqrt{3}| \right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\log |t+1-\sqrt{3}| - \log |t+1+\sqrt{3}|) + C$