6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 を用いてできる整数の個数を、次の各場合についてそれぞれ求めます。ただし、各位の数字は相異なるものとします。 (1) 4桁の整数 (2) 5桁の奇数 (3) 3桁の4の倍数 (4) 4桁の3の倍数

1. 問題の内容

6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 を用いてできる整数の個数を、次の各場合についてそれぞれ求めます。ただし、各位の数字は相異なるものとします。

(1) 4桁の整数

(2) 5桁の奇数

(3) 3桁の4の倍数

(4) 4桁の3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字が入ります。

千の位の選び方は5通りです。

百の位は、千の位で使った数字と0以外の5通りです。

十の位は、千の位と百の位で使った数字以外の4通りです。

一の位は、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3通りです。

よって、4桁の整数は、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個できます。

(2) 5桁の奇数

5桁の奇数を作る場合、一の位は1, 3, 5のいずれかです。

一の位が1の場合、万の位は0以外の4通り。千の位は残りの4通り。百の位は3通り、十の位は2通り。よって、$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$通り。

一の位が3の場合、万の位は0以外の4通り。千の位は残りの4通り。百の位は3通り、十の位は2通り。よって、$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$通り。

一の位が5の場合、万の位は0以外の4通り。千の位は残りの4通り。百の位は3通り、十の位は2通り。よって、$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$通り。

したがって、$96 \times 3 = 288$個できます。

(3) 3桁の4の倍数

3桁の4の倍数を作る場合、下2桁が4の倍数である必要があります。

可能な下2桁は、04, 12, 20, 24, 32, 40, 52。

04の場合、百の位は1, 2, 3, 5の4通り。

12の場合、百の位は0, 3, 4, 5の4通り。

20の場合、百の位は1, 3, 4, 5の4通り。

24の場合、百の位は0, 1, 3, 5の4通り。

32の場合、百の位は0, 1, 4, 5の4通り。

40の場合、百の位は1, 2, 3, 5の4通り。

52の場合、百の位は0, 1, 3, 4の4通り。

よって、$4 \times 7 = 28$個できます。

(4) 4桁の3の倍数

4桁の3の倍数を作る場合、各位の数字の和が3の倍数である必要があります。

使える数字は 0, 1, 2, 3, 4, 5 です。

4つの数字の合計が3の倍数となる組み合わせを考えます。

和が最小になるのは $0+1+2+3=6$ であり、最大になるのは $2+3+4+5=14$ なのでありえません。

和が3の倍数になる組み合わせは以下の通りです。（数字の順序は考慮しない）

* {0, 1, 2} -> 3で割った余りがそれぞれ0, 1, 2

* {3, 4, 5} -> 3で割った余りがそれぞれ0, 1, 2

候補となる組み合わせは以下の通りです。

* (0, 1, 2, 3) : 和は6

* (0, 1, 2, 4) : 和は7

* (0, 1, 2, 5) : 和は8

* (0, 1, 3, 4) : 和は8

* (0, 1, 3, 5) : 和は9

* (0, 1, 4, 5) : 和は10

* (0, 2, 3, 4) : 和は9

* (0, 2, 3, 5) : 和は10

* (0, 2, 4, 5) : 和は11

* (0, 3, 4, 5) : 和は12

* (1, 2, 3, 4) : 和は10

* (1, 2, 3, 5) : 和は11

* (1, 2, 4, 5) : 和は12

* (1, 3, 4, 5) : 和は13

* (2, 3, 4, 5) : 和は14

3の倍数になる組み合わせは、(0, 1, 2, 3), (0, 1, 3, 5), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 4, 5) です。

(0, 1, 2, 3)の場合、4桁の整数は、$3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ 個。

(0, 1, 3, 5)の場合、4桁の整数は、$3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ 個。

(0, 3, 4, 5)の場合、4桁の整数は、$3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ 個。

(1, 2, 4, 5)の場合、4桁の整数は、$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 個。

よって、$18 + 18 + 18 + 24 = 78$個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 288個

(3) 28個

(4) 78個