三角形OABにおいて、|OA| = 3, |AB| = 5, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 10$が与えられています。三角形OABの内接円の中心をIとし、内接円と辺OAの接点をHとします。 (1) 辺OBの長さを求めよ。 (2) $\vec{OI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表せ。 (3) $\vec{HI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、|OA| = 3, |AB| = 5, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 10$が与えられています。三角形OABの内接円の中心をIとし、内接円と辺OAの接点をHとします。

(1) 辺OBの長さを求めよ。

(2) $\vec{OI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表せ。

(3) $\vec{HI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 辺OBの長さを求める。

三角形OABにおいて、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$なので、

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2$

これに問題文で与えられた値を代入すると、

$5^2 = |\vec{OB}|^2 - 2(10) + 3^2$

$25 = |\vec{OB}|^2 - 20 + 9$

$|\vec{OB}|^2 = 25 + 20 - 9 = 36$

よって、$|\vec{OB}| = 6$

(2) $\vec{OI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

三角形OABの内接円の半径をrとし、各辺の長さをa, b, cとすると、面積Sは$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$で表せる。

|OA| = 3, |OB| = 6, |AB| = 5なので、a = 6, b = 5, c = 3となる。

まず、三角形OABの面積を求める。$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{\angle AOB}$より、

$10 = 3 \cdot 6 \cos{\angle AOB}$

$\cos{\angle AOB} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$\sin^2{\angle AOB} = 1 - \cos^2{\angle AOB} = 1 - (\frac{5}{9})^2 = 1 - \frac{25}{81} = \frac{56}{81}$

$\sin{\angle AOB} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}$

よって、三角形OABの面積は

$S = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{9} = 2\sqrt{14}$

また、$S = \frac{1}{2}r(6+5+3) = \frac{1}{2}r(14) = 7r$

$7r = 2\sqrt{14}$より、$r = \frac{2\sqrt{14}}{7}$

$\vec{OI} = p\vec{OA} + q\vec{OB}$とおくと、p+q < 1, p > 0, q > 0

$\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}$

一般に、三角形の内接円の中心ベクトルは、各頂点からの距離を係数にした重み付き平均で与えられる。

よって、

$\vec{OI} = \frac{|\vec{AB}| \vec{OA} + |\vec{OA}| \vec{OB}}{|\vec{AB}| + |\vec{OA}| + |\vec{OB}|} = \frac{5}{14} \vec{OA} + \frac{3}{14} \vec{OB}$

面積を用いて解くと

$\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB}}{a+b+c}$

$|OA|=3, |OB|=6, |AB|=5$,

$\vec{OI} = \frac{3}{14} \vec{OB} + \frac{5}{14} \vec{OA}$

(3) $\vec{HI}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

$\vec{OH} = |\vec{OH}| \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}$

内接円の半径はr = $\frac{2\sqrt{14}}{7}$。三角形OAIにおいて、$|AI| = \sqrt{r^2 + (3 - |OH|)^2}$

$|OH|=3$

$\vec{HI} = \vec{OI} - \vec{OH} = \frac{5}{14}\vec{OA} + \frac{3}{14}\vec{OB} - \frac{3}{3}\vec{OA}$

2. 最終的な答え

(1) $|\vec{OB}| = 6$

(2) $\vec{OI} = \frac{5}{14} \vec{OA} + \frac{3}{14} \vec{OB}$

(3) $\vec{HI} = -\frac{9}{14} \vec{OA} + \frac{3}{14} \vec{OB}$