$\triangle ABC$ において、$\sin C = \cos B \sin A$ が成り立つとき、$\triangle ABC$ はどのような形をしているか。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin C = \cos B \sin A$ が成り立つとき、$\triangle ABC$ はどのような形をしているか。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$ （$R$ は外接円の半径）が成り立つ。

これらを問題文の式に代入すると、

$\frac{c}{2R} = \cos B \frac{a}{2R}$

両辺に $2R$ をかけると、

$c = a \cos B$

次に、余弦定理より、$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ が成り立つ。

これを上の式に代入すると、

$c = a \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

両辺に $2c$ をかけると、

$2c^2 = c^2+a^2-b^2$

$c^2 = a^2-b^2$

$a^2 = b^2 + c^2$

これは、三平方の定理が成り立つことを示している。

3. 最終的な答え

$\angle B = 90^{\circ}$ の直角三角形