正四面体の1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回回転させます。ただし、2回目以降は直前にあった場所を通らないようにします。このとき、 (1) 転がし方の総数 (2) 3回回転がした後の正四面体の位置の総数 を求めます。

1. 問題の内容

正四面体の1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回回転させます。ただし、2回目以降は直前にあった場所を通らないようにします。このとき、

(1) 転がし方の総数

(2) 3回回転がした後の正四面体の位置の総数

を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数について考えます。

1回目の回転では、どの辺を軸にしても良いので、3通りの選択肢があります。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないようにするので、1回目の回転で軸とした辺以外の2つの辺を選択する必要があります。したがって、2通りの選択肢があります。

3回目の回転でも、直前にあった場所を通らないようにするので、2回目の回転で軸とした辺以外の2つの辺を選択する必要があります。したがって、2通りの選択肢があります。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 2 \times 2 = 12$通りです。

(2) 3回回転がした後の正四面体の位置の総数について考えます。

正四面体は、1つの面を下にして置くと、上面の頂点の位置が3通りあります。

1回目の回転で軸とした辺の向かい側の頂点が上にきます。その頂点を基準に考えると、正四面体の位置は、1回目の回転軸の選び方によって3通りになります。

2回目の回転後も同様に、正四面体の位置は、2回目の回転軸の選び方によって2通りになります。

3回目の回転後も同様に、正四面体の位置は、3回目の回転軸の選び方によって2通りになります。

ただし、回転のさせ方によって同じ位置になる場合があるため、単純に掛け算で求めることはできません。

ここでは、転がし方の総数12通りについて、実際に回転させて同じ位置になるものがあるかどうかを検討します。

正四面体の回転対称性を利用して、3回の回転の組み合わせの中で、同じ位置になるものを数えます。

1回目の回転で3通りの位置がありえます。2回目と3回目はそれぞれ2通りずつありますが、これらが組み合わさることで、最終的な位置が重複する可能性があります。

しかし、問題文の条件「2回目以降、直前にあった場所を通らない」という制約があるため、対称性による位置の重複は発生しません。

なぜなら、それぞれの回転で軸を変えているので、同じ場所に到達する経路がないからです。

したがって、3回回転がした後の正四面体の位置の総数は12通りです。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数：12通り

(2) 3回回転がした後の正四面体の位置の総数：12通り