$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $4:1$ に内分する点を $D$ 、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $E$ とします。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、3点 $D$, $G$, $E$ が一直線上にあることを証明してください。

## 問題67

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $4:1$ に内分する点を $D$ 、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $E$ とします。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、3点 $D$, $G$, $E$ が一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ とします。ただし、$O$ は空間内の任意の点です。

点 $D$ は辺 $AB$ を $4:1$ に内分するので、位置ベクトルは

$$\vec{d} = \frac{\vec{a} + 4\vec{b}}{4+1} = \frac{\vec{a} + 4\vec{b}}{5}$$

点 $E$ は辺 $AC$ を $4:3$ に内分するので、位置ベクトルは

$$\vec{e} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{4+3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}$$

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心なので、位置ベクトルは

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

3点 $D$, $G$, $E$ が一直線上にあることを示すには、ある実数 $k$ が存在して、 $\vec{dg} = k\vec{de}$ となることを示せばよいです。

$$\vec{dg} = \vec{g} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + 4\vec{b}}{5} = \frac{5(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3(\vec{a} + 4\vec{b})}{15} = \frac{2\vec{a} - 7\vec{b} + 5\vec{c}}{15}$$

$$\vec{de} = \vec{e} - \vec{d} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7} - \frac{\vec{a} + 4\vec{b}}{5} = \frac{5(3\vec{a} + 4\vec{c}) - 7(\vec{a} + 4\vec{b})}{35} = \frac{8\vec{a} - 28\vec{b} + 20\vec{c}}{35} = \frac{4(2\vec{a} - 7\vec{b} + 5\vec{c})}{35}$$

$$\vec{dg} = \frac{2\vec{a} - 7\vec{b} + 5\vec{c}}{15} = \frac{35}{60} \cdot \frac{4(2\vec{a} - 7\vec{b} + 5\vec{c})}{35} = \frac{7}{12}\vec{de}$$

したがって、$\vec{dg} = \frac{7}{12}\vec{de}$ となるので、3点 $D$, $G$, $E$ は一直線上にあることが示されました。

3. 最終的な答え

3点 $D$, $G$, $E$ は一直線上にある。