三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, $A=45^\circ$ のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, $A=45^\circ$ のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$a$の長さを求めます。余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

です。与えられた値を代入すると、

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cos 45^\circ$

$a^2 = 4 + (6 + 2\sqrt{12} + 2) - 4 (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 2 (\sqrt{12} + 2)$

$a^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 2 (2\sqrt{3} + 2)$

$a^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 4$

$a^2 = 8$

$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて角$B$を求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

です。与えられた値を代入すると、

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin B}$

$4 = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、$B = 30^\circ$ または $B = 150^\circ$ です。

$A = 45^\circ$ より、$A + B < 180^\circ$ である必要があります。

もし $B = 150^\circ$ なら、$A + B = 45^\circ + 150^\circ = 195^\circ > 180^\circ$ となるので不適です。

したがって、$B = 30^\circ$ です。

最後に、三角形の内角の和は$180^\circ$ であることから、角$C$を求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{2}$

$B = 30^\circ$

$C = 105^\circ$