立方体の各面を、隣り合った面の色が異なるように色を塗る問題です。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。 (1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

立方体の各面を、隣り合った面の色が異なるように色を塗る問題です。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。

(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6色すべてを使う場合

まず、1つの面の色を固定します。立方体は6つの面がありますが、どの面を固定しても回転によって同じになるので、1色を固定する方法は1通りです。

次に、固定した面の反対側の面の色を決めます。残りの5色から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。

残りの4つの側面は、円順列で考えることができます。4つの側面の色は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りの塗り方があります。

したがって、6色すべてを使う塗り方は、$5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 5色すべてを使う場合

5色のうち1色は2つの面を塗ることになります。その2つの面が隣り合っているか、向かい合っているかで場合分けします。

* 2つの面が向かい合っている場合：

まず、向かい合う面を塗る色を選びます。5色から1色選ぶので5通り。

残りの4つの面を4色で塗ります。これは円順列になるので $(4-1)! = 3! = 6$通り。

したがって、この場合は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

* 2つの面が隣り合っている場合：

まず、隣り合う面を塗る色を選びます。5色から1色選ぶので5通り。隣り合う2面を塗る塗り方も考慮すると、$5 \times 1 = 5$通り。

次に、残りの4つの面を4色で塗ります。

1つの面を固定します。残りの3色の並び順は $3! = 6$通り考えられます。

しかし、向かい合う面の色が同じになってしまう場合を除外する必要があります。

2つの面が隣り合って同じ色で塗られているので、向かい合う面で同じ色が使われることはありません。したがって、$3! = 6$通りです。

この場合は、$5 \times 6 = 30$通り。

隣り合った面が同じ色の場合、向かい合う面が同じ色になることはありません。

1つの色を2回使う場合、2つの面の位置関係で場合分けします。

向かい合う面が同じ色の場合：

5色から1色を選び、向かい合う面を塗ります。これは5通り。

残りの4面を4色で塗ります。これは円順列なので、(4-1)! = 3! = 6通り。

したがって、5 * 6 = 30通り。

隣り合う面が同じ色の場合：

5色から1色を選び、隣り合う面を塗ります。これは5通り。

まず、残りの色のうち、向かい合う面の一方に塗る色を選びます。4通り。その向かい側の面は、その隣の2面とは異なる色を選ぶ必要があります。

残り3面を3色で塗ります。

難しいため、別のアプローチを試みます。

オイラーの多面体定理を利用します。頂点の数V、辺の数E、面の数Fとすると、$V-E+F=2$の関係があります。

立方体では、$V=8, E=12, F=6$なので、$8-12+6=2$で成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り