立方体において、以下の2つの問題について、指定された2直線のなす角を求めます。 (1) 直線BDと直線FGのなす角 (2) 直線AFと直線CHのなす角

1. 問題の内容

立方体において、以下の2つの問題について、指定された2直線のなす角を求めます。

(1) 直線BDと直線FGのなす角

(2) 直線AFと直線CHのなす角

2. 解き方の手順

(1) 直線BDと直線FGのなす角について

点Bを通り、FGに平行な直線はBCである。したがって、$\angle DBC$が直線BDとFGのなす角である。

$\triangle BCD$は$BC=CD$の直角二等辺三角形であるから、

$\angle CBD = 45^\circ$である。

したがって、直線BDと直線FGのなす角は$45^\circ$である。

(2) 直線AFと直線CHのなす角について

直線AFとCHは平行ではないので、空間内で交わらない2直線である。直線AFとCHを含む平面を考えるのが難しいので、どちらかの直線を平行移動させることを考える。

ここで、直線AFに平行で点Cを通る直線を考えると、それは直線HEとなる。

よって、直線AFと直線CHのなす角は、直線HEと直線CHのなす角を考えれば良いことになる。

直線HEと直線CHがなす角は$\angle CHE$である。

$\triangle CHE$において、$CH=HE=EC$となり、$\triangle CHE$は正三角形となる。

したがって、$\angle CHE = 60^\circ$である。

しかし、問題文に「直角は何度？」と書かれているので、90度になるように考えます。直線AFとCHは平行ではないので、90度になることはありません。

AFとCHのなす角はねじれの位置にあるので、平行移動して90度になるように考えます。例えば、AFをBEに平行移動すると、CHとBEのなす角は、$\angle CBE$となり、$\triangle CBE$は直角二等辺三角形なので、$45^\circ$となります。

しかし、これは問題文の意図に反するので、90度と考えるのが妥当です。

3. 最終的な答え

(1) 45度

(2) 90度