円 $C$ の外部の点 $P$ から円に引いた直線が、円と2点 $A, B$ で交わっている。点 $P$ から円に接線を引き、接点を $T$ とする。$PA = 1$, $AB = 2$, $PO = 3$, $BD = x$ とする。 (1) $r$ と $PT$ の値を求める。 (2) $\triangle ACP$ と相似な三角形を求め、$AC$ の値を $x$ で表す。 (3) $\triangle ADP$ と相似な三角形を求め、$AD$ の値を $x$ で表す。 (4) $\angle CAD = 90^\circ$ であるとき、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $C$ の外部の点 $P$ から円に引いた直線が、円と2点 $A, B$ で交わっている。点 $P$ から円に接線を引き、接点を $T$ とする。$PA = 1$, $AB = 2$, $PO = 3$, $BD = x$ とする。

(1) $r$ と $PT$ の値を求める。

(2) $\triangle ACP$ と相似な三角形を求め、$AC$ の値を $x$ で表す。

(3) $\triangle ADP$ と相似な三角形を求め、$AD$ の値を $x$ で表す。

(4) $\angle CAD = 90^\circ$ であるとき、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の半径 $r$ は $PO - r = PD$ より、$3 - r = r$ なので、$2r = 3$ より $r = \frac{3}{2}$。

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB = 1 \cdot (1+2) = 3$ なので、$PT = \sqrt{3}$。

(2) $\triangle ACP$ と $\triangle DBP$ において、$\angle APC = \angle DPB$ (共通) であり、円周角の定理より、$\angle PAC = \angle PDB$ なので、$\triangle ACP \sim \triangle DBP$ である。

$\frac{AC}{BD} = \frac{AP}{DP}$ より、$AC = \frac{AP}{DP} BD = \frac{1}{3 - \frac{3}{2} \times 2} x = \frac{1}{3 - 3}x = \frac{1}{0} x$これは間違っている。正しくは$DP = OD - OP = 3 - \frac{3}{2} \times 2 = 3 - 3 = 0$でありえない。

$\triangle ACP$ と $\triangle DBC$ において、$\angle APC = \angle DBC$ではない。

$\angle PAC = \angle BDC$

$\angle ACB = \angle ADB$

正しくは$\triangle ACP \sim \triangle DBT$である。

$\frac{AC}{DT} = \frac{AP}{DB}$。ここで$DB = x$

$\angle PAT = \angle BTP$

$\triangle DBT$において

$\angle DBT + \angle BTD + \angle BDT = 180^\circ$

円の接線と弦の作る角の定理より$\angle PTA = \angle ABP$である。

また、$\angle ATP = \angle ABD$

$\triangle PTA$において

$\angle PAT + \angle PTA + \angle APT = 180^\circ$

$\triangle DBT \sim \triangle ACP$

$\frac{AC}{DB} = \frac{AP}{DT}$

$AC = \frac{AP}{DT} DB = \frac{1}{DT}x$

$OD \perp AD$, $CD \perp AD$

$\triangle ACO$

$\triangle BDO$

$\triangle ACP \sim \triangle DBT$ より、$\frac{AC}{DT} = \frac{AP}{DB}$

$DT^2 = r^2 - x^2 = (\frac{3}{2})^2 - x^2 = \frac{9}{4} - x^2$

$DT = \sqrt{\frac{9}{4} - x^2} = \frac{\sqrt{9 - 4x^2}}{2}$

$AC = \frac{AP}{DT} DB = \frac{1}{\frac{\sqrt{9 - 4x^2}}{2}} x = \frac{2x}{\sqrt{9 - 4x^2}}$

(3) $\triangle ADP$ と $\triangle ABP$ の関係を求める。

$\triangle ADP$ と $\triangle CBP$

$\triangle ABC \sim \triangle DBA$

$\triangle ADP \sim \triangle CBP$

$\frac{AD}{CB} = \frac{AP}{CP} = \frac{DP}{BP}$

$AD = \frac{AP}{CP} CB = \frac{1}{CP} CB$

$\triangle ADP \sim \triangle CBP$ より

$\frac{AD}{BC} = \frac{DP}{BP}$

$AD = \frac{DP}{BP} BC = \frac{3 - \frac{3}{2}}{1 + 2 + x} (2) = \frac{\frac{3}{2}}{3 + x} (2) = \frac{3}{3 + x}$

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PD \cdot PC = PT^2$

$1 \cdot 3 = (\frac{3}{2} \times 2) PC = 3$

$PC = \frac{PT^2}{PD} = \frac{3}{\frac{3}{2}\times 2} = \frac{3}{3} = 1$

$AD = \frac{\frac{3}{2}}{3 + x} BC = 2 \frac{3}{3 + x} = \frac{6}{3+x}$

$\frac{1+x - \sqrt{9 - 4x^2}/2}{1}$

$AD = \frac{3 + \sqrt{9 - 4x^2}}{2} \sqrt{\frac{1}{9 - 4x^2}} = \frac{6}{3 + x}$

$\triangle ADP \sim \triangle ABP$

AD = 1

$\triangle ADP \sim \triangle CAD$

$AD = \frac{4 + \sqrt{9 - 4x^2}}{2} * 1$

$AD = 1 + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \times 1$

$AD =$

(4) $\angle CAD = 90^\circ$ より、$x$ の値を求める。

1. 最終的な答え

(1) $r = \frac{3}{2}$, $PT = \sqrt{3}$

(2) $\triangle ACP \sim \triangle DBT$, $AC = \frac{2x}{\sqrt{9 - 4x^2}}$

(3) $\triangle ADP \sim \triangle CBP$, $AD$

(4) $x = \sqrt{ }$